奥本海姆《信号与系统》（第2版）笔记和课后习题（含考研真题）详解

奥本海姆《信号与系统》（第2版）笔记和课后习题（含考研真题）详解，本文很长清晰，目录标号书签完整，除了包含各章详细的课后习题，还包括知识点总结等考研知识点，非常值得一读！强烈推荐！llull(3)根据信号能量和功率的有限性分类①信号具有有限的总能量,即E。<∞,这种信号的平均功率为零。②平均功率P有限的信号,其能量无穷大。③P和E都无限的信号。自变量的变换1.基本变换(1)时移①x(t-t)代表一个延时t。(若t为正)的x(t),或超前t(若t为负)的x(t②xmm代表一个延时个单位(若n为自然数)的序列xm,或超前个单位(若m为负整数)的序列xn(2)时间反转①x(-1)是从信号xt)以t=0为轴反转而得的。②x[-a是将xn以n=0为轴反转而得到的(3)扩展与压缩信号x(at+β)(a和β都是给定的数)由原信号x(t)线性的扩展(若la|<1)或压缩(若la|>1),时间上的反转(若a<0)及移位(若β≠0)得到。2.周期信号与非周期信号(1)周期信号①连续时间周期信号a.定义连续时间周期信号是指存在一个正值的T,对所有的t都有()=x(+1)的信号。即当一个周期信号时移T后其值不变。b.最小正值T称为x(t)的基波周期To②离散时间周期信号a.定义离散时间周期信号是指存在一个正整数N对所有的n值都有川=n+N的信号。即当一个周期序列时移N后其值不变b.最小正值N称为它的基波周期N(2)非周期信号非周期信号是指不具有周期的信号。3.偶信号与奇信号(1)偶信号①定义偶信号是指以原点为轴反转后不变的信号。②在连续时间情况下,偶信号满足x-D=xn。③在离散时间情况下,偶信号满足x-川=xn。(2)奇信号①定义奇信号是指以原点为轴反转后与原信号相差一个负号的信号。②在连续时间情况下,奇信号满足x-1=-x(n。③在离散时间情况下,奇信号满足x-川=-x[川(3)任何信号=一个偶信号+一个奇信号Extr5x(D+x(-n)Odx(o=slx(1-x(-I]Eyx(t)和Od1x(1)份分别称为x(t)的偶部和奇部三、指数信号与正弦信号1.连续时间复指数信号与正弦信号连续时间复指数信号具有如下形式(r)=Ce其中C和a一般为复数(1)实指数信号实指数信号是指C和a都是实数的x(t)。a的正负对波形的影响:①若q是正实数,那么x(t)随t的增加而呈指数增长。②若a是负实数,那么x()随t的增加而呈指数衰减(2)周期复指数和正弦信号①周期复指数是a为纯虚数的信号,例如x(t)=e"②正弦信号:x()=Acos(u0t+中)。③周期复指数和正弦信号之间的相互转化a.利用欧拉关系,复指数信号可以用与其相同基波周期的正弦信号来表示e Joor cos wof+ jsin ootb.正弦信号也能用相同基波周期的复指数信号来表示Acos(o!+小)2(3)一般复指数信号一般复指数信号是指C和a至少有一个为复数的信号。由C="和a=r+Jo0有Ce=Cle"e"+"=Cle"em”;利用欧拉关系,可展开为ICle"cos(wof +0)+jICle"sin(ool +6意义:①若r=0,则复指数信号的实部和虚部都是正弦的②若r>0,其实部和虚部则是一个振幅呈指数增长的正弦信号③若r<0,其实部和虚部则是一个振幅呈指数衰减的正弦信号。2.离散时间复指数信号与正弦信号复指数序列可=Ca”(C和a一般均为复数);若令=c,则n=Ceh实指数信号实指数信号是指C和a都是实数的信号。①若la|>1,则信号随n呈指数增长;②若a|<1,则信号随n呈指数衰减。③若a是正值,则Ca"的所有值都具有同一符号;④若a为负值,则x的符号交替变化;⑤若a=1,xn就是一个常数;⑥若=-1,xn的值就在+C和一C之间交替变化。(2)正弦信号正弦信号是指C局限为纯虚数(即a=1)的信号①利用欧拉公式可以将复指数和正弦序列联系起来e J0 cOS won+ i sin won和A cos(won +o)2 looN +=ee Joun②将C和a均以极坐标形式给出,即=Ce"和?=e,则有Ca"=Cla"cos(wo/ 8)+j Clap sin(won 8)a.对=1,复指数序列的实部和虚部都是正弦序列。b.对<1,其实部和虚部为正弦序列乘以一个呈指数衰减的序列。C.对其实部和虚部为正弦序列乘以一个呈指数增长的序列3.离散时间复指数序列的周期性质(1)离散时间指数信号e的周期性的要求为了使信号c是周期的,周期为N>0,就必须有Joo(n+N)toaHe也就是要求aN必须是2π的整数倍,即必须有一个整数m,满足N=2xm或N(2)意义a.若On/2丌为一个有理数,就是周期的;否则就不是周期的。b.若离散序列是周期的,那么其基波周期为m(2)四、单位冲激与单位阶跃函数1.离散时间单位脉冲和单位阶跃序列(1)单位脉冲(即单位样本)0.0l.n=0(2)单位阶跃an0.n<0≥0(3)离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的关系①离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的一次差分:Sn]= uIn]-uIn-l②离散时间阶跃是单位样本的求和函数d[明olmI因为un在<0时为0,而在≥0时为1,故将求和变量从m改变为=n-m后得到n-∑刮n-M或者4=∑bn(4)单位脉冲序列的采样在m处的单位脉冲6n-n」,即对信号xn]在n处的采样NoiN-]= xlnolalr-nol2.连续时间单位阶跃和单位冲激函数(1)连续时间单位阶跃函数0.<0)=(2)连续时间单位阶跃与单位冲激的关系①连续时间单位阶跃是单位冲激的积分函数HnE8(7)dF连续时间单位阶跃和单位冲激函数之间的关系的另一种形式,即a(r)8(r)dr= 8(-ok-do=I&(t-o)do②连续时间单位冲激可看成连续时间单位阶跃的一次微分6(r)d()dr3)冲激函数的采样作用x(ro(r- to)= x(to)o(r- fo五、连续时间和离散时间系统1.系统的分类(1)连续时间系统①定义连续时间系统是指输入的信号是连续时间信号,系统产生的输出也是连续时间信号的系统。(图1-2(a))②输入输出关系x(t)是输入,y(t)是输出则连续时间系统的输入-输出关系为:)→y(r)(2)离散时间系统①定义离散时间系统是指将离散时间输入信号变换为离散时间输出信号的系统。(图1-2(b)②输入-输出关系xn→y川n图1-2(a)连续时间系统;(b)离散时间系统2.系统的互联(1)串联(或称级联)系统1的输出就是系统2的輸入,而整个系统变换输入信号首先由系统1处理,然后再由系统2处理。(图1-3(a))(2)并联系统1和系统2具有相同的输入。图中的符号”表示相加,所以并联后的输出是系统1和2的输出之和。(图1-3(b))可以定义两个系统以上的并联,并且还能将级联和并联组合起来,以得到更复杂的互联。…[图1-3两个系统的互联(a)级联;(b)并联;(c)级联-并联联接(3)反馈互联系统1的输出是系统2的输入,而系统2的输出又反馈回来与外加的输入信号一起组成系统1的真正输入。(图1-4)看统1输入输出系统图1-4系统的反馈互联六、基本系统性质1.记忆系统与无记忆系统(1)无记忆系统无记忆系统是指对自变量的每一个值,输出仅仅取决于该时刻的输入的系统。(2)记忆系统记忆系统是指对自变量的每一个值,输出不仅仅取决于该时刻的输入,还与之前系统的状态有关的系统。该系统具有保留或存储不是当前时刻输入信息的功能。2.可逆性与可逆系统(1)定义可逆系统是指在不同的输入下会导致不同的输出的系统。(2)特点当逆系统与原系统级联后,输出等于第一个系统的输入3.因果性(1)因果系统(又称不可预测的系统)因果系统是指在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入的系统(2)特点①若两个输入直到某一个时间to或n0以前都是相同的,那么在这同一时间以前相应的输出也一定相等。②所有的无记忆系统都是因果的,因为输出仅仅对当前的输入值做出响应。4.稳定性(1)稳定系统个稳定系统在小的输入下的响应是不会发散的(2)对于离散稳定系统输入x[n]是有界的,输出yn也是有界的。5.时不变性(1)定义若系统的特性和行为不随时间而变,该系统就是时不变的(2)特点如果在输入信号上有一个时移,在输出信号中产生同样的时移。①若y[n是一个离散时间时不变系统在输入为xm时的输出则当输入为xn-no]时,输出就为yn-nl]②若yt)是一个连续时间时不变系统的在输入为x(t)时的输出则当输入为x(t-t)时,输出y(t-t)6.线性令y()是一个连续时间系统对输入x1(t)的响应,而y2t)是对应于输入x2()的输出,那么一个线性系统就应该有:(1)可加性y1(t)+y2(是对x()+x2(0的响应。(2)比例性或齐次性ay(是对ax(t的响应(a为任意复常数)。(3)叠加性(=可加性+齐次性)如果某一个输入是由几个信号的加权和组成的,那么输出也就是系统对这组信号中每一个的响应的加权和。①对于连续时间,ax(r)+bx2(n)→ay1()+by2()。②对于离散时间,ax1m]+ brInk→ayln+by2n。(4)系统的总输出=线性系统的响应+零输入响应线性系饒图1-5一种增量线性系统的结构y0()是系统的零输入响应在连续或离散时间系统中,其响应对输入中的变化是线性的。即对增量线性系统而言,对任意两个输入的响应的差是两个输入差的线性函数L2课后习题详解习题1.1用笛卡儿坐标形式(x+yj)表示下列复数,em,em,e",√2e,、em,√e,、2e解:利用欧拉公式:Ae= Acos a t+ Aisin @ot和复平面性质Aem= A cos oof- Ai sin o,Ae"(+)=Ae,(n∈Z)有:el=cos丌+- I SInI=-,-e=-cos丌- JSIn=22e=Cos-+Jsin2j,。-= COS--sin-=-Je/=eli/=cos+jsin=j22cs+八2smz=√2+22=1+2√2cos+八2sin=2√.√1+jep4=√2ek=√2cos4j2snn=√22小/22V2e i/=2 cos T i 2 sin T=2.v2- 2.v2_112用极坐标形式(re,-π<0≤π)表示下列复数。5,-2,-3,;-j2(1-j)2,j(1-j),(1+)/(1-j),(2+j2)/(1+j3)解:根据a+b=√a2+b2(cos+jsin0)=√a2+b2e",(0- arg tan-),有:5=5cos 0+isin O2=2cos +2sin =e+3sin3cOS(--)+jsin(--)21+j=√2(cos,+/sinx4he(1-j)=-2j=2cos(--)+j2sin(一-)j(1-D=1+j=v2 cos=+jv2 sinx=√2a14(+1/d-J)=2j=2cos+j2sin-=2e1222胃f4(2+八2)/(1+八3)=(c0s+jsin)/cos2+jsin2)=3=en213对下列每一个信号求P和En(a)ansel(t2+4(c)x,(t)=cos(t)2n》(f)x3[n]4解:P。=lim27["2u(t)]dt(1-e4)2e dt lim2TE= lim [eu(t)]dt= lim edr= lim (1-e4T)=→心oJ0T-eo0=|1me/(t+ml dt=limIdt=1∞r02777)27E=lim5rlef(aa 4) dr=lim ld= lim 2T=oCP=lim[coso dt=lim 352〓lm1+cos(2t)it=lim27+sin 21T→cxD→4E。=lim∫[eos(O)]d=lim(7+sin2n=∞→)N∞2N+1m=2N→∞2N+1m411-(1/4)2N+11-1/4(H(n)lim41-(14)41mP= limm2N+1=NN→c2N+1=-NI=lim(2N +1)中(f)2x∑[(2)丁I+cosN→∞2N十∑=1mg412(2)+2=2E-m(一如立去一如(2N+1)14设n<-2和n>4时xn]=0,对以下每个信号确定其值保证为零的n值(a)x[n=3(b)x[n+4](d)x-n+2解:(a)x[n-3]=0<-2或n-3>4,即xn-3]=0,n<1或n>7(b)x[n+4」=0,n+4<-2或n+4>4,即x[n+4]=0,n<-6或,(c)x[-m=0,一n<-2或即x[n]=0,n<-4或n>2(d)x-n+2]=0,-n+2<-2或-n+2>4,即x[一n+2]=0,n<-2或n>4e)x[-n-2]=0,-n-2<-2或4,即x[-n-2]=0,n<-6或n>015设t<3时x(t)=0,确定以下每个信号的值保证为零的t值。a t(b)x(1-1)+x(2-t)(c)x(1-t)x(2-1)(d)x(3t)(e)x(t/3)解:(a)x(1-t)=0,1-t<3,即x(1-t)=0,t>-2(b)x(1-t)+x(2-t)=0,1-t<3且2-t<3,即x(1-t)+z(2-t)=0,t>-1(c)x(1-t)x(2-t)=0,1-t<3或2-t<3,即x(1-t)x(2-t)=0,t>-2(d)x(3t)=0,3t<3,即x(3t)=0,t<1x(t/3)=0,t/3<3,即(t/3)=0,t<916判断下列信号的周期性。(a)x1(t)=2e"u(t)(b)x2[n]=u[n]+u[-n](c)xn]=∑{8n-4!-6n-1-4k]l解:(a)由于