有限元方法及其应用（李开泰）

（李开泰）有限元方法及其应用（教材），主要讲述有限元方法的方法结构及数学基础，包括变分原理、形状函数、有限元子空间、有限元程序设计流程等。有限元方法及其应用(I方法构造和数学基础李开泰黄丈香黄庆怀西安交通大学出版社内客简介本苦包括“法构造和数学基础”和“发展及应用"大部分分网删发行。它们既是个整体,又具有相对独立性第一部分由第一章到第六章组成。内容包指方法构造、在电子算机上实现的全过程椭圆边值问题、变分原理和有限元解的收敢性讨论。第二部分由第七茸到第十一章组成。内容包括派合元,杂交方法、有限元谱逼近、发展方程的有限元逼近,以及在流体力学、弹性方学、中子扩散方程和电磁场方画的应用。本书可作为高等院校理工科硕士研究坐的教材。除第一部分外还可在第二部分中选择所需章节,作为对有限元方法在深度和广度上进一步的开拓;如用作应用数学、计算数学、应用力学、应用物翅专业本科步选修课教材,则采用第一部分内答是适宜的。本书对理工科高等院校教师和有关的科技工作者世是一本有价值的参考书有限元方法及共应用李开泰黃文春黄庆怀貴任辑蒋潞死安交通大学出版社出版出就号西安交通大学出版社印刷印荚西省新华书发行各地新华书店经售开本8x10921/3张87/字数1千字1084年12月第-版1984年2月第一次印剂印数1--000统一书号:1634002定价:1.5元序言由于偏微分方程在理论和实践上的重要性,它的数值解法,长期以来吸引着数学家、物理学家和工程师们的注意。种数值方法包括它的数学基础和它的实现,都紧紧地依赖于理论数学的发展和计算于段的改善。计算机科学的发展现代大型高速电子计算机的出现,对数值方法冲击之大,是历史从来未有过的。作为求解偏微分方程的个强有力的手段——一有張元方法,正是电子计算机时代的产物有限元方法是.Cumn于1943年首先提出,五十年代由航空结构工程师们所发展,随后逐渐波及到士木结构工程,到了六十年代。在一切连縷场领域,都愈来愈广泛地得到运用。我国码康教授和西方料学家各自独立魄定了有限元方法的数学理论基础。由于愈来愈多的数学家入了发展有限元方法的行列,这种方法便由工程局限性中逐渐解脱出来,代之以统一的观点和严密的数学述,并确立了它的数学基础。有限元方法摈弃了刻划自然规律中局部的、瞬酎的数学描述,而以大范围的全过程的数学分析作为自己的出发点。局部和整体,瞬时和会过程,只是以诱种不荷的角度来描述自然现象。一个过程,既可以被微分方程所描述,又服从相应的变分原理,方法虽然不同,但却从两个不同的侧面来反映同一自然规律数值分析的任务,就是从无限维空间转化到有限维空闾,把连续统转变为烹散型的结构。有限元方法是利用场函数分片多项式逼近模式来实现离散化过程的,也就是说,有艰元方法依赖这样的有限维子空间,它的基函数系是具有做小支集的函数系,这样的函数系与大范围分析相结合,反映了场内任何两个局部地点场变量的相互依赖关系。任何个局部地点,它的影响函数和影响区域,正是基函数本身和它约支集。在线性力学范畴里,场内处于不同位置的力相互作用产生的能量,可用双线性泛函Bφ;中)来表示,其中中中正是相应地点的基函数。B(小,)的大小与中;小支集的交集大小有关,如果两个支集的测度为零,则B(中)=0,因此:离散化所得到的方程其系数矩阵是稀疏的。若区域分割细小化,则支集不相交的基函数对愈多,矩阵也就愈稀疏。这给数值解法带来了极大的方便。有隈元方法之所以能获得如此迅速的发展和广泛的应用,是因为它具有独特的优越性。如以往常用的差分方法,其不足之处是,由于采用的是直交啊格,因此它较难适应区域形状的任意性,而且区分不出场函数在区娀中轻重缓急之差异,此外它还有编制不出通用程序的困难。然而,有限元方法可以用任意形状的网格分害区域,还可以根据场函数的需要疏密有致地、自如地布置点,因而对区域的形状有较大的适应性。另外,有限元方法在实用上更大优趣性还在于;它与大容量的电子计算机相结合,可以编制通用的计算程序,代表着数值计算方法的进步,反过来也促进了计算机科学的发展。如果视了这一点,就会低估有限元方法的价2耗资几頁万美元,投入上百个人年的大型有限元分析程序系统不断产生,一种二程应用软件学科已经形成。在高等院校理工科的许多专业琪已把有限元方法作为大学生或研究生的必修课程,如何用尽量少的教学时数,使学生堂握有限元方法及其在电子计算秘上的实现的技和在各种领域中的应用,如何使计算数学、应用数学研究生获得恰当的有限元数学理论基础并能独立地开展有限元方法理论和宴践方面的研究。是编写本书的宗旨。本书在第一章到第四章寸,论述了有限元方法錯构及其在电子计算机上如何实现;第五章和第六章是有限元方法的基础知识;第七章到第九章是有限元方法在一些领域中的应用,可根据不同的专业选用,使学生获得必要的应用背景材料和抆巧;第十章到第十二章的内容是有限元方法的数学理论。其中包括混合有限元,谱逼近理论,发展方程的有限元週近和非线性问题。本书经过多次教学实践,并取得了良好的效果。其内容可作为高等院校理工科研究生和计算数学、应用数学专业学生的教材,也可作为有关教师和卫程师的參考资料。在编写本书过程中,承我校游兆水教授和航工业部周天孝高级工程师认真审阅,并提出了宝贵然意见,作者在此表示衷心的感谢。3第一部分方法结构和数学基础第一章有限元方法结构●咱bp中4·■自口b1■·■■…(1)§1 Galerkin变分原理和R变分原理…(1)2 Galerkin逼近解■■■■罩ψ■罩罩●■ψ■§3有限元子空间……………(13)§4单元刚度矩阵和总刚度矩阵…………(23)第二形状函数……………………………………(27§1引言……………(27)§2矩形元素的形状函数……………(312.1矩形元素的卫 agrange型形状函数……(32)2.2矩形元素的 Hermite型形状函数……(36)§3维空间中单纯形的“面积”坐标……42)3三角形的面积坐标……………………(42)32线元的自然坐标中自山·甲甲甲一中中费中●■◆q冒●申〔46)3.3四面体的体积坐标………(47维欧氏空间中的“面积”坐标……49)4三角形元紫的形状函数………………(50)4.1三角形元素的 range型形状函数…(51)4.2三角形元素的且 ermita型形状函数…(58)s5三维元家的形状函数………(735.1六面体元素的 Lagrange型形状函数…(7352四面体元素的 Lagrange型形状函数…(75)5.3三棱柱体元素的形状函数……(78)5.4四面体元素的 Hermite型形状函数·(80)86等参数元素……………82)87曲边元素啁■鲁粵罩■看罩■……(86)第三章有限元方程組的解法和约束亲件的处瑶4(82)§1对称、正定矩阵的分解93)82对称、带状矩阵的一维存贮96)§3线性代数方程组的直接解法………(98)4有限元方程组的其它解法…………102)4.1最速下降法…■ψ鲁d中·■(103)4.2共轭梯度法■■罩■■■罩■·■聊小●■■■■d山■db电b如略(105)竖5强加约束条件的处理…………………(107)5.1近似处理鲁↓即自唱■■噜【自■晉昏■·■晋■■■■4■■和■画·■■■108)5.2消元法(1)………………(108)5.3消元法〔Ⅱ)………………………(111)§6周期性纩束杂件的处哩■■■■■國■罩■旱■晷罩;111)6.1解除周期性约東和矩阵变换…………(112)62解酴周期性约束在计算机中实现的方法■甲中冒曾·曹4冒115)第匹章有限无方法程序设计………………………(123)§1有限元方法的计算流程………(123)§2一维存贮中对角元地址数组的形成…(127)§3数值积分……………………(129)s4形状函数的计算(135)5单元刚度矩阵的讦算和总刚度矩阵的合成…………………r…………………(i41)5.1单元刚度矩阵及单元列阵的计算框图■·■■■b·罩■■ψdd··西■【■■bd■■■■自白自■■■(142)5.2总刚度矩阵元紊附迭加框图…………(I44)5.3总刚度矩阵及右端列阵的合成框图…(144)86有限元网格的自动剖分……………(145)§7导数的计算………………………(150)§8一个计算实例日4■■日■鲁·卓·■■■自自■日昏气1ψ·◆T(155)§9有限元计算程序的发展163)第五章椭到边值问题变分原理………………(166§1co6B空问若干知识…auto( 166)11定义1661.2迹空恂…1699嵌入定現(1721.4等价范数4L|4甲·+冒一日日白··會P卓■t昏(1755商空间…………………………(179)2弱解、强制性和椭圆性………………(181§3变分问题解的存在唯一……………186)§4例中自卩■4普卩日■■即■·卓甲4凸口4画■■pp甲4〔192)4.1 Poisson方程 Dirichlet问题……(192)4.2Pis0n方程 Neumann间题…(194)A.3 poisson方程第三边值河题……(196)44双调和方程 Dirichlet问题………(198)第六章有限元逼近解误差估计…………………(200)1坐标变换和等价有限元…………(200)