资 源 简 介
目录 第一章 概论 1.1 fourier分析到小波分析 1.2 积分小波变换和时间-频率分析 1.3 反演公式和对偶 1.4 小波的分类 1.5 多分辨分析、样条及小波 1.6 小波分解与重构 第二章 fourier分析 2.1 fourier变换与fourier逆变换 2.2 连续时间卷积和 函数 2.3 平方可积函数的fourier变换 2.4 fourier级数 2.5 基本收敛定理和poisson求和公式 第三章 小波变换和时间-频率分析 3.1 gabor变换 3.2 短时fourier变换和测不准原理 3.3 积7.3紧支撑止交小波的构造……………鲁◆鲁·口●·自自317)7.4正交小波包ψ争·◆自鲁争冒b·●●●鲁鲁●·ρ◆阜會◆鲁◆●●····●●D◆司328)7.5小波级数的正交分解◆·◆◆音··鲁中·●1◆·昏·￠督●●··會当·◆(333)注解(338)附录A(345)参考文献…(348)索引(355)第一章概论“小波”( Wavelets是目前在许多科学和工程技术聚会中的个非常广泛的话题。有些人认为小波可以作为表示函数的一种新的基底;还有些人认为小波可作为时间频率分析的一种技术;而另外有些人则把小波看作是一个新的数学学科。当然,所有这些看法都是正确的,因为“小波”是一种具有非常丰富的数学内容,且对应用有巨大潜力的多方面适用的工具。然而,像这样的学科仍在迅速的发展之中,还不能过早地给出-个明确而统一的描述。本书的目标是适度的:打算把它作为关于“小波分析”方面的一本导论性著作。这本书既是为大学高年级学选修课或开始学习研究生课程的数学与工科各学科的学生写的,也是为希望学习这个学科内容的数学家与工程师写的。对于专家们来说,本卷书可作为更进一步的专著的补充读物,这些专著如, Yves Meyer著的两卷本Ondelettes et Operateurs;作者主编的本系列丛书之一: WaveletsA Tutorial in Theory and applications; Ingrid Daubechies著的即将出版的CBMS讲座: Ten lectures on wavelets因为小波分析是一个比较新的课题和方法,而本书的编排体系与其它的书有些不同,所以本章的目的是要概括小波分析的般思想和描述本书所要包括的内容。l. I Fourier分析到小波分析令2(0,2x)表示在区间(0,2x)上定义的所有可测且具有I f(r)2dx K的函数集合。对于不熟悉 Lebesgue基础理论的读者,假设∫是个分段连续函数,可使学习所受影响最小。以后总是假定,L2(0,2x)中的函数周期地延拓到实直线R即:∫x)=∫(x-2丌)对所有x成立。因此,集合L2(0,27)常称为2周期的平方可积函数空间。很容易验证,D2(0,2)是灬个向量空间。l2(0,2丌)中的任何一个f都具有一个 Fourier级数表示式∫f(x)其中常数cn定义为∫(x)e"lx(1.1.2)2它称为∫的 Fourier系数。在公式(1.1.1)中,级数的收敛是在I2(0,2x)中,意思是limJ(x)-2M,N→∞0在 Fourier级数表示公式(1.1.1)中,有两个独特的性质:首先f可分解为无限多个互相正交分量g、(x):=c"的一个和,其中正交是指2<9m9n少=0,对所有m≠n而公式(]1.3)中的“内积”定义为9m99n()9,(a)d公式(11.3)成立是一个重要的结论,然前简单的事实(x):=e,n1,0,1,…(1.1.5)是12(0,2x)的个正交基。 Fourier级数表示公式(1.1.1)的第个独特的性质是,正交基{可用个单个函数(x)的“膨胀”生成。也就是说对所有的整数〃,m,(x)=v(mr),这种膨胀称为整数膨胀。我们概括下这个值得注意的事实:每个2x周期平方可积函数都可用巷函数v(x)="的整数膨胀的“叠加”来生成我们还注意到,由{,的正交性质, Fourier级数表示公式1.1.1)也满足所谓的 Parseval恒等式22m0if(a)12d令P表示所有双无限平方可和序列的空间,即{,}∈B如且仅如那么,如果把公式(1.1.7)左边的量的平方根作为对于Z2(0,2m)中函数度量的“范数”,回样地、把公式(1.17)右边的量的↓方根作为对于P的范数,那么函数空间12(0,2x)与序列空间彼此是同构的”。现在返回到对上述 Fourier级数表示公式(1.1.1)的观瘵,还可以说,每个2周期平方可积函数是基函数w(x)=e"的整数膨胀的一种2的线性组合需要再次强调,基函数(a)=e= cosx t ising是一个“正弦波”,它是要求生成所有2丌周期平方可和函数的单独函数。对于具有大的绝对值的任何整数n,波n(x)=(x)有高的“频率”,而对于具有小的绝对值的整数n,波,(x)具有低的频率。所以,在12(0,2x)中的每个函数由具有各种频率的波组成下面考虑定义在实直线R上的可测函数f的空间2(R),函数∫满足∫(x)1ax<很明显,两个函数空间2(0,2x)和L2R)是完全不同的。特别是,因为2(R)中每个函数(的局部平均值)在士∞必须“衰减”到零;所以正弦(波)函数m2不属于J2(呎)。事实上,如果我们寻找产生12(IR)的“波”,那么这个波就在土∞衰减到零;并且对于所有的实际应用,衰减应该是很快的。即,我们寻找小的波,或“小波”以生成7:(R)。像在l2(0,2x)中的情况,那里一个单个函数v(x)-e“生成整个空间我们还希望有个单个函数v来牛成整个L2(R)。但是,如果小波φ具有很快的衰减,它怎么能够覆盖整个实直线呢?明显的方法是沿R移动约令Z表示整数的集合ZL1,0,1对于y,覆盖全体R的最简单方法是考虑φ的所有整数平移,即y(x-6)k∈Z像在正弦波情形那样,下面还必须考虑具有不同频率的波。由于种机,种原因,读者马上就会清楚,我们不希望考虑“单频率”的波,而宁愿考虑频率划分为连续“倍频程”(或频带)的波。为了计算的有效性,我们对于频率划分将使用2的整数幂;也就是说,我们现在考虑小波y(2x-k)j,∈Z(1.1.8)可以看出,21x-k)可由一个单个“小波”函数y(x)通过一个二进膨胀(即2)的膨胀)和一个(k/2)的)二进位移得到。这样,我们就对“小波”的函数感兴趣,φ的二进膨胀和二进位移足以表示l2(R)中的所有函数。为了简单,我们首先考虑用y产生的一个正交基。在本章后面(见1.4节)我们将引入更一般的“小波级数”在整个这本书中,我们使用下述记号表示空间2(R)的内积与范数f(a)g(r)df‖2:=<∫,∫>12(1.1.10)其中f,∈2(R)。注意,对于任何),k∈Z,有l/2‖f(2∫(2edx2-12‖f‖因此,如果-·个函数y∈I2(呎)具有单位长度,那么,用(x):=22y(2x-k)),k∈Z(定义的所有函数v,(x)也具有单位长度,即22∈Z(1.1、12)在本书中,定义在ZXZ上的 Kronecker符号1对(L.1.130对)≠经常使用。定义1.1一个函数v∈I2(R)称为是一个正交小波、如果公式(L.1.I)中所定义的族{,是12(R)的一个规范正交基.、即yit, pou,1,k,l,m∈Z(1.1.1而且每个f∈(R)能写成∫(x)C, 14.(a(1.1.15)其中公式(1.1.15)中的级数收敛是在Ⅰ2(R)中的收敛,即iH-∑t yi,t1 2正交小波的最简单例子是用对0≤x<1/2n(x):对1/2≤x<1(1.1.16)0其它定义的Har函数。在1.5和1.6节中,我们将给出这个函数个简洁的讨论。其它的正交小波将在第七章中详细研究。公式(1.1.15中f的级数表示称为小波级数。类似于在公式(1.1.2)中 Fourier系数概念,小波系数c;:由=<∫,孙,>(1.1.17)给出。即,如果我们定义在2()上的一个积分变换环为6(Hp∫)(b,a)f cr)y3OdxCf∈l2(R)(l.1.18)那么,公式(1.1.15)和(1.1.17)中的小波系数就变成(Wf)((l.1.192:2线性变换W称为关于“基小波”的“积分小波变换”。因此,f的第(,k)个小波系数由∫的积分小波变换在具有二进膨胀a=2的进位置b一6/2计算给出,其中相同的正交小波常用来生成小波级数公式(1.1.15)和定义积分小波变换公式(1.1,18)积分小波变换的重要性在下节中讨论。在这里,我们只说明这个积分变换大大地增强了(积分) Fourier变换的价值,多可定义为(∫)(y)了∫(x)dx,∫∈L2(R)(1.1.20)这个变换的数学描述在下章进行。众所周知, Fourier变换是Fourier分析的一个重要组成部分。因此,注意 Fourier分析的两个组成部分是有意义的,即: Fourier级数与 Fourier变换,它们基本上是不相关的;而小波分析的两个相应的组成部分,即:小波级数公式(1.1.15)与积分小波变换公式(1.1.18),具有如公式(1.1.19)所描述的密切的关系。1.2积分小波变换和时间频率分析公式(1.1.20)所定义的 Fourier变换多不只是一个很有力的数学工具,而且在应用中还具有重要的物理解释。例如,如果一个函数f∈L2(R)被看作是由它的范数‖f‖2定义的具有有限能量的一个模拟信号,那么∫的 Fourier变换
