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数学分析_第二卷(第四版)[M]（卓里奇《俄罗斯数学教材选译》序经过认真选题并精心翻译校订,本系列中所列入的教材,以莫斯科大学的教材为主,也包括俄罗斯其他一些著名大学的教材.有大学基础课程的教材,也有适合大学高年级学生及研究生使用的教学用书.有些教材虽曾翻译出版,但经多次修订重版,面目已有较大变化,至今仍广泛采用、深受欢迎,反射出俄罗斯在出版经典教材方面所作的不懈努力,对我们也是一个有益的借鉴.这一教材系列的出版,将中俄数学教学之间中断多年的链条重新连接起来,对推动我国数学课程设置和教学内容的改革,对提高数学素养、培养更多优秀的数学人才,可望发挥积极的作用,并起着深远的影响,无疑值得庆贺,特为之序李大潜2005年10月再版序言在第四版改正了已经发现的印刷错误B.卓里奇莫斯科,2002年第三版与第二版的区别只是一些局部的修改(只有一处的证明作了修正),还补充了一些我认为有益的习题B.卓里奇莫斯科,2001年本书第二版与第一版的区别,除改正了已经发现的第一版的印刷错误外,主要特点如下:某些问题(例如,涉及到级数和傅里叶变换的问题)重写了;有些重要定理(例如,一般的有限增量定理)的证明变得更加简浩明晰;增加了一些新的应用例子和新的内容丰富的练习,它们与相应章节的理论有关,有时显著地延伸了这些理论的内容;书末给出了考试大纲以及口试提纲和参考题;参考文献索引也扩充了关于本书第二卷的取材和特点,在第一版序言中有进一步的说明B.卓里奇莫斯科,1998年第一版序言在第一卷的序言中,对全书的特点已经作了足够详细的介绍,因此,我在这里只对第二卷的内容作一些说明作为这一卷的基本内容一方面有重积分,曲线积分和曲面积分,直到一般的斯托克斯公式及其应用例子;另一方面又有级数和含参变量积分的全部材料,其中包括傅里叶级数,傅里叶变换和渐近展开的知识因此,这一卷基本上符合综合大学数学系二年级的教学大纲为了不致使上述两大题材的前后顺序生硬地按学期固定下来,我实际上是把它们独立叙述的第九章和第十章,即这本书开头的两章,实质上用一般形式简要地重写了第卷中关于连续函数和可微函数的几乎全部最重要的内容.它们都标以星号*,并且是作为第一卷的补充写的但是,其中的许多概念已经是当今向数学系学生叙述分析时必须提到的.在这两章,叙述了形式化抽象理论之后常给出大量例子和启发性注释,在第一卷中,它们是摆在形式化抽象理论叙述之前的.如果读者有足够的训练在读这两章时能跳过这些例子和启发性注释,那么,第二卷在形式上就几乎与第卷无关这本书中关于多变量函数积分学的主要的新内容是从第十一章开始的.其实,在读过本教程第一卷之后可以从这一章开始读第二卷,并不影响对内容的理解在叙述曲线和曲面积分理论时,讲述并使用了微分形式的语言、首先,基于初等的材料引进全部基本几何概念和分析结构,然后,由它们构成通往一般斯托克斯公式的抽象定义阶梯第十五章是流形上微分形式积分法的一个综合性叙述.我认为它是对第十一至第一版序言十四章中,就具体对象叙述和阐明的那些必须学习的材料,所作的非常合适、非常系统的补充在有关级数和含参变量积分部分,除给出传统材料外,还给出(第十九章)了渐近级数和积分的渐近式的初等理论,由于它们都是有效的分析工具,这样做无疑是非常有益的为了理解的方便,补充材料或第一次阅读可以跳过去的部分,都用星号标了出来本书各章和插图是继已经出版的第一卷(卓里奇:数学分析,第一卷,莫斯科,科学出版社,1981年)编号的关于参考资料,这里只给出那些在第一卷中没有提到的学术文献为了读者的方便和简化书写,同过去一样,证明的开始和结尾分别以记号4和表示.只要方便,定义的引进都使用了据定义相等的专门符号:=或=,其中双点放在被定义的对象一边这本书继续保持了第一卷的风格,无论对数学结构本身的简洁性和逻辑的严密性,还是对如何展示理论在自然科学中的各种应用,都给予了很大重视B.A.卓里奇莫斯科,1982年目录《俄罗斯数学教材选译》序再版序言第一版序言第九章连续映射(一般理论)1度量空间1.定义和例子(1)2.度量空间中的开集和闭集(4)3度量空间的子空间(6)4.度量空间的宜积(7)练习(8)§2拓扑空间91.基本定义(9)2.拓扑空间的子空间(12)3.拓扑空间的直积(12)练习(13)83紧集141.紧集的定义和一般性质(14)2.度量紧集(15)练习(17)§4连通的拓扑空间练习(18)5完备的度量空间191.基本定义和例子(19)2度量空间的完备化(22)练习(25)§6拓扑空间的连续映射261.映射的极限(26)2.连续映射(28)练习(30目录§7压缩映像原理31练习(36)第十章线性赋范空间中的微分学..号号D鲁38§1线性赋范空间381.分析中一些线性空间的例子(38)2.线性空间中的范数(39)3向量空间中的数量积(41)练习(4)§2线性和多重线性算子451.定义和例子(45)2.算子的范数(48)3.连续算子空间(52)练习(56§3映射的微分5了1.在点可微的映射(57)2.微分法的一般法则(58)3.一些例子(59)4.映射的偏导数(65)练习(66§4有限增量定理和它的应用的一些例子691.有限增量定理(69)2.有限增量定理应用的一些例子(71)练习(74)5高阶导映射1.n阶微分的定义(75)2沿向量的导数和m阶微分的计算(76)3.高阶微分的对称性(78)4若千评注(79)练习(81)6泰勒公式和极值的研究81映射的泰勒公式(8])2.内部极值的研究(82)3.一些例子(84)练习(8)§7一般的隐函数定理90练习(98)第十一章重积分,,,,,。.,,。,.100§1n维区间上的黎曼积分1001.积分定义(100)2.函数黎曼可积的勒贝格准则(102)3.达布准则(106)练习(108)§2集合上的积分1091容许集(109)2.集合上的积分(1103.容许集的测度(体积)(1)练习(112)s3积分的一般性质113作为线性泛函的积分(113)2积分的可加性(113)3积分的估计(114)练习(116)§4化重积分为累次积分1171.富比尼定理(11)2.一些推论(119)练习(123)§5重积分中的变量替换1251.问题的提出和变量替换公式的预期结论(125)2.可测集和光滑映射(1263.一维情形(128)4.R中最简微分同胚的情形(130)5.映射的复合和变量目录替换公式(131)6.积分的可加性和积分变量替换公式证明的完成(131)7.重积分变量替换公式的一些推论和推广(132)练习(135)§6反常重积分1381基本定义(138)2.反常积分收敛性的控制判别法(140)3.反常积分中的变量替换(143)练习(145)第十二章R中的曲面及微分形式.148§1Rn中的曲面148练习(155)§2曲面的定向156练习(161)s3曲面的边界及其定向1621.带边曲面(162)2曲面定向与边界定向的和谐性(164)练习(167)§4欧氏空间内曲面的面积168练习(172)S5微分形式初步1751.微分形式,定义及例子(175)2.徽分形式的坐标记法(179)3.外薇分形式(181)4.在映射下,向量的转移与形式的转移(184)5,曲面上的形式(187)练习(1第十三章曲线积分与曲面积分,,19181微分形式的积分1911.原始问题,启发性想法,例子(191)2.形式沿定向曲面积分的定义(197)练习200)§2体积形式第一型积分与第二型积分2041.物质曲面的质量(204)2.作为形式的积分的曲面面积(205)3体积形式(206)4.在笛卡儿坐标下体积形式的表示(207)5.第一型与第二型积分(208)练习§3分析的基本积分公式2131.格林公式(213)2高斯-奥斯特罗格拉德斯基公式(217)3.R3中的斯托克斯公式(20)4一般的斯托克斯公式(221)练习(224)第十四章向量分析与场论初步.229§1向量分析的微分运算229l.数量场与向量场(29)2]3中的向量场与形式(293微分算子grad,rot,div及V(232)4.向量分析的一些微分公式(235)*5.曲线坐标下的向量运算(237)练习(245)目录§2场论的积分公式2461.用向量表示的经典积分公式(246)2.div,rot,grad的物理解释(248)3些进一步的积分公式(252)练习(254s3势场2561.向量场的势(256)2.势场的必要条件(257)3.向量场具有势的判别准则(258)4.区域的拓扑结构与势(260)5.向量势、恰当形式与闭形式(262)练习(265)§4应用例子268热传导方程(268)2.连续性方程(270)3.连续介质动力学基本方程(271)4波动方程(272)练习(273)*第十五章流形上微分形式的积分276§1线性代数准备知识2761.形式代数(276)2斜对称形式代数(277)3线性空间中的线性映射及共轭空间中的共轭映射(280)练习(281)82流形2831.流形的定义(283)2.光滑流形与光滑映射(287)3.流形及其边界的定向(289)4.单位分解及流形以R中曲面的形式的实现(292)练习(295)3微分形式及其在流形上的积分296l.流形在其一点的切空间(296)2.流形上的微分形式(299)3.外微分(301)4.形式在流形上的积分(302)5.斯托克斯公式(303)练习(305)§4流形上的闭形式与恰当形式3101.庞加莱定理(310)2.同调与上同调(313)练习(317)第十六章一致收敛性,函数项级数与函数族的基本分析运算319§1逐点收敛与一致收敛319l.逐点收敛(319)2基本问题的提出(320)3依赖于参数的函数族的收敛性和致收敛性(322)4.一致收敛的柯西准则(325)练习(326)§2函数项级数的一致收敛性3271.级数一致收敛性的基本定义和判别准则(327)2.级数致收敛的魏尔斯特拉斯检验法(329)3.阿贝尔-狄利克雷检验法(330)练习(334)§3极限函数的函数性质3341问题的具体化(334)2两个极限过程可交换的条件(33)3.连续性与极限过渡(336)4.积分法与极限过渡(339)5微分法与极限过渡(341)练习(345)§4连续函数空间的紧子集和稠密子集1.阿尔采拉-阿斯柯利定理(348)2.度量空间C(K,Y)(350)3.斯通定理(351)练习(353)