2019张宇高等数学基础班讲义 无水印版2019年张宇面授基础班讲义无水印第一讲极限核心考点:(1)定义(2)性质(3)计算(4)应用极限定义函数极限limf(x)=AVs>0,38>0,当0<|x-x0<δ时,有|f(x)-A|
Af(x)-x+∞例如:limf(x)=+∞M>0,彐X>0,当x|>X时,有f(x)>M2.数列极限n为自然数,n→x∞专指n-x+∞,而略去“+”不写limx=A台c>0,彐N>0,当n>N时,有|xn-A|0,存在自然数N,当n>N时,恒有|n-A|N时,恒有|un-A<ε因此数列{un}也收敛于A,可知命题正确对于命题②,不妨设数刎{xn}为单调增加的,即其中某一给定子数列{xn}收敛于A,则对任意给定的e>0,存在自然数N,当n1>N时恒有xn -A<由于数列{xn}为单调增加的数列,对于任意的n>N,必定存在n;≤n≤n1,有A≤xn-A≤a< e计+1从而A可知数列{xn}收敛于A.因此命题正确对于命题③,因limx2n2=A,limx2n1=A,由极限的定义可知,对于任意给定的e0,必定存在自然数N1,N2:当2n>N1时,恒有|x2-A|N时,总有|x-A|<ε,因此lmxn=A.可知命题正确.故答案选D二、极限三大性质1.唯一性若limf(x)=A,则A唯x o【证】假设limf(x)=B,A≠B,不妨假设A>B,于是ye>0,31>0,0<|x-x。<δ1时,f(x)-A|0,彐62>0,0δ2时,f(x)-B|0,>0,当0<|x-x<δ时,恒有|f(x)|0,则时,f(x)>0若limf(x)=A<0,则x→x。时,f(x)<0【分析】【例】设mf(x)=f(0)且lmf(x)=-2,则x=0是()cos TA.极大值点B.极小值点非极值点D.无法判断【分析】三、极限的计算1.函数极限计算①七种末定式(00∞【注】0不是真的0,1不是真的1②计算工具(1)洛必达法则a)plim(x)=0, ling(x)=oB)且如3,则nx2-ix(x)C·(x)隐含条件:f(x),g(x)都为无穷小量;都可导;导函数比值的极限存在【注】如lims1x=1imsx=1x洛必达法则能不能用,用了再说,用了若存在,则存在;用了若不存在,只能说洛必达法则失效,并不能说原极限一定不存在,如im3x+x用洛必达法则不存在,但实际上这个极限是存在的且=1x→C【注】常用等价无穷小Sin n aarcsin c natannerarctan aIn(1+x)(1+x)-1~ax1-cos xx2第一组(,,∞·0【例1】imn1+mx=√1+smx/91分析】【例2】lim0【分析】【例3】 limIng·ln(1-x)【分析】碰到∞·0,有两种想法化:为1或者化为如 lim xln x=limlilimiN2x行不通换一种=limIn xx0-1im-x=0就可以了【小结】设置分母有原则,简单因式才下放”简单:x2,e等复杂:nx, arcsin, arctan x等我们再回到例3:原式=第二组(∞-c)有分母,则通分【例〗取自《张宇考研数学题源探析经典1000题·习题分册》数学一P4,A组1.19(3)(数学二P,B组1.19;数学三P7,B组1.20(1))【分析】这是“∞—∞”型未定式极限,首先通分变成“(”或“”型未定式,然后使用洛必达法则求极限②没有分母,创造分母例】lim x(ex-1)第三组(∞°,0°,1)U(x)v=evCx) u(x)【例1】(x+√1+x2)「例2】lim(tanx)x如m(1)(2)泰勒公式任何可导函数f(x)=>ansin x=r=1r3 +o(r)arcsin x=x+txtofxtanx=x+x+o(x)rotan x+o(x3)COSa+x4+0(x4)In(1+x)-x+ex=1+x+,+,+0(x3)2!3!=1+x+x2+x3+0(x3)(|x|<1)【例1】limarcsin r- arctan x【分析】【例2】当x→0时,cosx-e与cxk为等价无穷小,求c,k【分析】【例3】设f(x)在x=0的某领域内有定义,且lim1(x21anx-sin4x=0,计算f(x-0【分析】 
